【題目】在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過M,F(xiàn),O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準線的距離為
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由;
(3)若點M的橫坐標為 ,直線l:y=kx+ 與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當 ≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.

【答案】
(1)解:由題意可知F(0, ),圓心Q在線段OF平分線y= 上,

因為拋物線C的標準方程為y=﹣ ,

所以 ,即p=1,

因此拋物線C的方程x2=2y.


(2)解:假設(shè)存在點M(x0, ),(x0>0)滿足條件,

拋物線C在點M處的切線的斜率為

y′ = =x0

令y= 得, ,

所以Q( ),

又|QM|=|OQ|,

,

因此 .又x0>0.

所以x0= ,此時M( ).

故存在點M( ),使得直線MQ與拋物線C相切與點M.


(3)解:當x0= 時,由(Ⅱ)的Q( ),⊙Q的半徑為:r= =

所以⊙Q的方程為

,整理得2x2﹣4kx﹣1=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由于△=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=﹣ ,

所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x22﹣4x1x2]=(1+k2)(4k2+2).

,整理得(1+k2)x2 ,

設(shè)D,E兩點的坐標分別為(x3,y3),(x4,y4),

由于△= >0,x3+x4= ,x3x4=

所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x42﹣4x3x4]= ,

因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ ,

令1+k2=t,由于△=16k2+8>0 ,

≤k≤2,∴t≥

,

所以|AB|2+|DE|2=t(4t﹣2)+ =4t2﹣2t+

設(shè)g(t)=4t2﹣2t+ ,t ,因為g′(t)=8t﹣2﹣

所以當t ,g′(t)≥g′( )=6,

即函數(shù)g(t)在t 是增函數(shù),所以當t= 時,g(t)取最小值 ,

因此當k= 時,|AB|2+|DE|2的最小值為


【解析】(1)通過F(0, ),圓心Q在線段OF平分線y= 上,推出求出p=1,推出拋物線C的方程.(2)假設(shè)存在點M(x0 , ),(x0/span>>0)滿足條件,拋物線C在點M處的切線的斜率為函數(shù)的導數(shù),求出Q的坐標,利用|QM|=|OQ|,求出M( ).使得直線MQ與拋物線C相切與點M.(3)當x0= 時,求出⊙Q的方程為.利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組.設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),利用韋達定理,求出|AB|2 . 同理求出|DE|2 , 通過|AB|2+|DE|2的表達式,通過換元,利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值.

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【題目】某共享單車企業(yè)在城市就“一天中一輛單車的平均成本與租用單車數(shù)量之間的關(guān)系”進行了調(diào)查,并將相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:

根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員設(shè)計了兩種不同的回歸分析模型,得到兩個擬合函數(shù):

模型甲:,模型乙:.

(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):

①完成下表(計算結(jié)果精確到0.1元)(備注:,稱為相應(yīng)于點的殘差);

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過比較的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.

(2)這家企業(yè)在4城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎并供不應(yīng)求,于是該企業(yè)決定增加單車投放量.根據(jù)市場調(diào)查,市場投放量達到1萬輛時,平均每輛單車一天能收入7.2元;市場投放量達到1.2萬輛時,平均每輛單車一天能收入6.8元.若按(1)中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本,問該企業(yè)投放量選擇1萬輛還是1.2萬輛能獲得更多利潤?請說明理由.(利潤收入成本)

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【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為

1)求頻率分布直方圖中的值;

2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;

3)從評分在的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人評分都在的概率.

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【題目】在一次數(shù)學測驗后,班級學委對選答題的選題情況進行統(tǒng)計,如下表:

幾何證

明選講

極坐標與

參數(shù)方程

不等式

選講

合計

男同學

12

4

6

22

女同學

0

8

12

20

合計

12

12

18

42

(1)在統(tǒng)計結(jié)果中,如果把幾何證明選講和極坐標與參數(shù)方程稱為“幾何類”,把不等式選講稱為“代數(shù)類”,我們可以得到如下2×2列聯(lián)表.

幾何類

代數(shù)類

合計

男同學

16

6

22

女同學

8

12

20

合計

24

18

42

能否認為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān),若有關(guān),你有多大的把握?

(2)在原始統(tǒng)計結(jié)果中,如果不考慮性別因素,按分層抽樣的方法從選做不同選答題的同學中隨機選出7名同學進行座談.已知這名學委和2名數(shù)學課代表都在選做“不等式選講”的同學中.

①求在這名學委被選中的條件下,2名數(shù)學課代表也被選中的概率;

②記抽取到數(shù)學課代表的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望

下面臨界值表僅供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】設(shè)橢圓 的左右頂點分別為A,B,點P在橢圓上且異于A,B兩點,O為坐標原點.
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(2)若|AP|=|OA|,證明直線OP的斜率k滿足|k|>

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【題目】學校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:

甲說:“是作品獲得一等獎”;

乙說:“作品獲得一等獎”;

丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;

丁說:“是作品獲得一等獎”.

若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________

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【題目】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤分別為(萬元),它們與投入資金(萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式,.今將120萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對甲、乙兩種產(chǎn)品的投資金額都不低于20萬元.

(Ⅰ)設(shè)對乙產(chǎn)品投入資金萬元,求總利潤(萬元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;

(Ⅱ)如何分配使用資金,才能使所得總利潤最大?最大利潤為多少?

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【題目】如圖,在三棱錐中,,的中點.

(1)證明:平面

(2)若點在棱上,且,求點到平面的距離.

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【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了16月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:

日期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日

晝夜溫差

10

11

13

12

8

6

就診人數(shù)(個)

22

25

29

26

16

12

該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

(Ⅰ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2月至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程x;

(Ⅱ)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想.

附:(參考數(shù)據(jù)

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