Question

設P為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一個點，過點P作橢圓的切線與⊙O：x²+y²=12相交于M，N兩點，⊙O在M，N兩點處的切線相交于點Q．（1）若點P坐標為(m，

3

2

)，求直線MN的方程．（2）若P為橢圓上的一個動點，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）因為P為橢圓上的一點，所以把y=

3

2

代入橢圓，可求P點坐標，進而分類討論：當P點為（1，

3

2

）時，因為直線MN是過P點，且與橢圓相切的，直線方程與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，判別式等于0，可求直線側(cè)斜率；同理可求當P點為（-1，

3

2

）時，直線的方程；
（2）設點P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），可得橢圓

x2

4

+

y2

3

=1在P處的切線方程為

x0x

4

+

y0 y

3

=1，又可知切點弦MN所在直線的方程為x₁x+y₁y=12，由于表示相同直線，故可得坐標關(guān)系，從而可求點Q的軌跡方程．

解答：解：（1）因為P為橢圓上的一點，所以把y=

3

2

代入橢圓，得橫坐標為1或-1
所以P點坐標（1，

3

2

）或（-1，

3

2

）
當P點為（1，

3

2

）時，因為直線MN是過P點，且與橢圓相切的，所以設y-1.5=k（x-1），與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，判別式等于0，即（4k²+3）x²+（-8k²+12k）x+（4k²-12k-3）=0，則k=-0.5，所以直線MN為x+2y-4=0
當P點為（-1，

3

2

）時，因為直線MN是過P點，且與橢圓相切的，所以設y-1.5=k（x+1），與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，判別式等于0，即（4k²+3）x²+（8k²+12k）x+（4k²+12k-3）=0，則k=0.5，所以直線MN為x-2y+2=0
（2）設點P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁）
∵P為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一個點，∴

x 02

4

+

y 02

3

=1
∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1在P處的切線方程為

x0x

4

+

y0 y

3

=1
又QM，QN為過點Q所引的⊙O：x²+y²=12的兩條切線，可知切點弦MN所在直線的方程為x₁x+y₁y=12
∴

x0 4

x1

=

y0 3

y1

=

1

12

故x0=

x1

3

，y0=

y1

4

∴

x 2 1

36

+

y 2 1

48

=1
∴點Q的軌跡方程

x 2

36

+

y 2

48

=1．

點評：本題以圓與橢圓為載體，綜合考查軌跡問題，考察學生分析解決問題的能力，難度較大．