Question

經(jīng)過多年的運(yùn)作，“雙十一”搶購活動已經(jīng)演變成為整個電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴．為迎接2014年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié)，某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷．經(jīng)調(diào)查測算，該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量P萬件與促銷費(fèi)用x萬元滿足P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品P萬件還需投入成本10+2P萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價格定為(4+

20

P

)元/件，假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求．
（Ⅰ）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（Ⅱ）促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)產(chǎn)品的利潤=銷售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，y=(4+

20

p

)p-x-(10+2p)，--------------------------（3分）
將p=3-

2

x+1

代入化簡得：y=16-

4

x+1

-x（0≤x≤a）．-----------------------（6分）
（Ⅱ）y′=-1-

-4

(x+1)2

=

-(x+1)2+4

(x+1)2

=-

x2+2x-3

(x+1)2

=-

(x+3)(x-1)

(x+1)2

當(dāng)a≥1時，x∈（0，1）時y'＞0，所以函數(shù)y=16-x-

4

x+1

在（0，1）上單調(diào)遞增x∈（1，a）時y'＜0，所以函數(shù)y=16-x-

4

x+1

在（1，a）上單調(diào)遞減
促銷費(fèi)用投入1萬元時，廠家的利潤最大；----------------------------------（9分）
當(dāng)a＜1時，因?yàn)楹瘮?shù)y=16-x-

4

x+1

在（0，1）上單調(diào)遞增y=16-x-

4

x+1

在[0，a]上單調(diào)遞增，
所以x=a時，函數(shù)有最大值．即促銷費(fèi)用投入a萬元時，廠家的利潤最大．
綜上，當(dāng)a≥1時，促銷費(fèi)用投入1萬元，廠家的利潤最大；
當(dāng)a＜1時，促銷費(fèi)用投入a萬元，廠家的利潤最大-------------------------------（12分）
（注：當(dāng)a≥1時，也可：y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 ×(x+1)

=13，
當(dāng)且僅當(dāng)

4

x+1

=x+1，即x=1時，上式取等號）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．