Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AF=

3

2

AD，G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為（　�。�

• A、

  6

  6

• B、

  21

  6

• C、

  7

  7

• D、

  21

  7

Answer 1

分析：設(shè)AD=2a，則AF=

3

a，ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，則AG=BG=AB=2a，由V_C-ABG=V_B-AGC可得B到平面AGC的距離，從而可求GB與平面AGC所成角的正弦值．

解答：解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，
設(shè)AD=2a，則AF=

3

a，ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，
∴AG=BG=AB=2a．
在△AGC中，AC=CG=2

2

a，AG=2a，∴S_△ACG=

1

2

•2a•

7

a=

7

a²．
設(shè)B到平面AGC的距離為h，則由V_C-ABG=V_B-AGC可得

1

3

•

7

a2h=

1

3

•

3

4

•4a2•2a，
∴h=

2 21

7

a，
∴GB與平面AGC所成角的正弦值為

2 21 a 7

2a

=

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的判定方法，以及求線面成的角的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查體積公式，屬于中檔題．