Question

已知圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，若圓柱的側(cè)面積最大，則此圓柱的上底面將已知圓錐的體積分成小、大兩部分的比是（ ）
A．1：1
B．1：2
C．1：8
D．1：7

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)圓柱高與半徑分別為x、y．圓錐底面半徑為m，圓錐高為n，將要求的兩個體積進(jìn)行相比．然后利用圓錐截面的三角形相似，化簡，側(cè)面積最大，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題，解答即可．
解答：解：設(shè)圓柱高與半徑分別為x、y，圓錐底面半徑為m，圓錐高為n，…①
圓錐截面的三角形相似…②
S_柱側(cè)=2xyπ…③，由①②③得，
S_柱側(cè)=
從這個式子可以看出．當(dāng)一個錐體給定后，圓柱的只與圓柱的高有關(guān)．
所以x=，圓柱的側(cè)面積最大．此時圓柱的上底面將已知圓錐的體積分成小、大兩部分的比是1：7
故選D．
點評：本題考查棱錐的體積，解題中：相似等腰三角形中，求得小、大三角形的高的比為1：2，由此可見，小的與全體體積之比為1：8，從而得出小、大兩部分之比（特別提醒：小、大之比并非高之比的立方）．