Question

求函數(shù)f（x）=x+

1

x

的增減性，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題

分析：可利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增減性，先令f（x）的導(dǎo)數(shù)等于0，找出單調(diào)區(qū)間再進(jìn)行判斷．

解答： 解：由題意得：x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?∞，0）∪（0，+∞）；
∵f¹（x）=1-

1

x2

，令1-

1

x2

=0，解得x=±1
當(dāng)x變化時，f¹（x），f（x）的變化情況如下：
在（-∞，-1）∪（1，+∞）上，f¹（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
在（-1，0）∪（0，1）上，f¹（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
選擇證明函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有f（x1）-f（x2）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．其它區(qū)間同理可證．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，可以采用定義判斷，也可利用倒數(shù)進(jìn)行判斷，證明時注意自變量的取值范圍．