在正三棱錐P-ABC（頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，過A作與PB，PC分別交于D和E的截面，則截面△ADE的周長的最小值是（　�。�
分析：利用正三棱錐P-ABC的側面展開圖，即可將求△ADE的周長的最小值問題轉化為求展開圖中線段的長的問題，進而在三角形中利用解三角形的知識計算即可
解答：解：此正三棱錐的側面展開圖如圖：則△ADE的周長為AD+DE+EA′，由于兩點之間線段最短，
∴當D、E處于如圖位置時，截面△ADE的周長最小，即為AA′的長
設∠APB=α，過P作PO⊥AA′，則O為AA′中點，∠APO=
3α
2
，
在等腰三角形PAB中，sin
α
2
=
2
8
=
1
4
，cos
α
2
=
15
4

∴cosα=1-2sin2
α
2
=
7
8
，sinα=2sin
α
2
•cos
α
2
=
15
8

∴sin
3α
2
=sin（α+
α
2
）=sinαcos
α
2
+cosαsin
α
2
=
15
8
×
15
4
+
7
8
×
1
4
=
11
16

∴AA′=2AO=2AP×sin
3α
2
=16×
11
16
=11
故選C
點評：本題考查了利用幾何體的側面展開圖求截面周長最值的方法，利用三角變換公式解三角形的技巧，空間問題轉化為平面問題的思想方法
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

4、在正三棱錐P-ABC中，D、E分別是AB、BC的中點，有下列四個論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC．其中正確的個數(shù)為（　�。�

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在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：
①AC⊥PB；
②AC∥平面PDE；
③AB⊥平面PDE．
其中正確論斷的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩垂直，且側棱長為a，則點P到平面ABC的距離為
3
3
a
3
3
a
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，AB=
2
，PA=
3
+1，過點A作截面交PB，PC分別于D，E，則截面△ADE的周長的最小值是
6
+
2
6
+
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側棱PB、PC的中點，若截面AMN⊥側面PBC，底面邊長為2，則此三棱錐的體積是（　�。�
A、
3
2
B、
5
3
C、
5
D、
15
3

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