Question

【題目】已知函數(shù)，且．

(1)判斷函數(shù)的奇偶性；

(2) 判斷函數(shù)在(1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；

(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)為奇函數(shù)；（2）見(jiàn)解析；（3）(0,1)∪(1，＋∞).

【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，證明函數(shù)的單調(diào)性按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行．

（1）函數(shù)為奇函數(shù)．確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；

（2）按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行證明，作差后要因式分解．

（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到不等式的解集。

解 ∵，且

∴，解得

(1) 為奇函數(shù)，

證：∵，定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱…

又

所以為奇函數(shù)

（2）在上的單調(diào)遞增

證明：設(shè)，

則

∵

∴ ，

故 ，即， 在上的單調(diào)遞增

又，即，所以可知

又由的對(duì)稱性可知時(shí)， 同樣成立 ∴