Question

如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sinθ的值等于

5 7

14

．

Answer 1

分析：連接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的長，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，由∠ACB為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos∠ACB的值，由θ=30°+∠ACB，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，把各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：連接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°，
根據(jù)余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，
∴BC=10

7

海里，
根據(jù)正弦定理得

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠A CB

，即

10 7

3 2

=

20

sin∠ACB

，
∴sin∠ACB=

21

7

，
∵∠ACB為銳角，∴cos∠ACB=

2 7

7

，
∴sinθ=sin（30°+∠ACB）=

1

2

×

2 7

7

+

3

2

×

21

7

=

5 7

14

．
故答案為：

5 7

14

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．