Question

9．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2b-1}{x}+b+3，x＞1}\\{-{x}^{2}+（2-b）x，x≤1}\end{array}\right.$在x∈R內(nèi)滿足：對于任意的實數(shù)x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0成立，則實數(shù)b的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$，0]．

Answer 1

分析 由增函數(shù)的定義知，此函數(shù)是一個增函數(shù)，由此關(guān)系得出a的取值范圍．

解答 解：若函數(shù)f（x）在x∈R內(nèi)滿足：
對于任意的實數(shù)x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0成立，
則f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b-1+b+3≥-1+2-b}\\{\frac{2-b}{2}≥1}\\{2b-1＜0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{4}$≤b≤0，
故答案為：[-$\frac{1}{4}$，0]．

點評 本題考查函數(shù)的連續(xù)性，解題本題關(guān)鍵是根據(jù)題設中的條件得出函數(shù)是一個增函數(shù)，再有增函數(shù)的圖象特征得出參數(shù)所滿足的不等式，這是此類題轉(zhuǎn)化常的方式，本題考查了推理論證的能力及轉(zhuǎn)化的思想．