Question

（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P ? ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D，E，F(xiàn)分別是BC，PB，CA的中點(diǎn)．

（1）證明平面PBF⊥平面PAC；

（2）判斷AE是否平行平面PFD？并說(shuō)明理由；

（3）若PC = AB = 2，求三棱錐P ? DEF的體積．

 

Answer 1

（1）證明：平面PBF⊥平面PAC；（2）AE不平行平面PFD；（3）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證明平面PBF⊥平面PAC，知需要在平面PBF內(nèi)找到一條直線與平面PAC垂直即可，由題意可以選擇證明BF⊥平面PAC；（2）用反證法證明,假設(shè)AE平行平面PFD，然后通過題目的條件推出矛盾即可；（3）因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以三棱錐三棱錐是同底等高的，所以,因此 ．

解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF平面ABC，∴PC⊥BF．

∵△ABC為正三角形，F(xiàn) 是CA的中點(diǎn) ∴BF⊥AC．又∵PC∩AC ? C．

∴BF⊥平面PAC． ∵BF平面PBF，∴平面PBF⊥平面PAC． 4分

（2）AE不平行平面PFD．

反證法：假設(shè)AE∥平面PFD．∵AB∥FD，F(xiàn)D平面PFD，AB平面PFD

∴AB∥平面PFD．∵AE、AB 是平面ABE內(nèi)兩條相交直線，

∴平面ABE∥平面PFD．

而∵P∈平面ABE，P∈平面PFD，矛盾． 則假設(shè)不成立．即AE不平行平面PFD． 8分

（3）∵E是PB的中點(diǎn) ∴ ．

因?yàn)镈,F是BC,AC的中點(diǎn)，所以

又因?yàn)?PC⊥平面ABC

所以＝××S△ABC ×PC＝×××?． 12分

考點(diǎn)： 1、面面垂直的判定定理；2、反證法；3、三棱錐體積公式．