Question

如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．   

（1）證明：平面；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），證得．又因?yàn)?平面推出，             

又，所以 平面．

（2）點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí).

【解析】

試題分析：（1）【方法一】證明：由俯視圖可得，，所以 ． 2分

又因?yàn)?平面，所以 ，              4分

又，所以 平面．               6分

（1）【方法二】證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312322985244122/SYS201307231233045777913275_DA.files/image003.png">平面，，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系． 在△中，易得，所以 ，

因?yàn)?， 所以， ．由俯視圖和左視圖可得：

．

所以 ，．

因?yàn)?，所以．               3分

又因?yàn)?平面，所以 ，又  

所以 平面．                                               6分

（2）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為．

證明如下：設(shè) ，其中．                                 7分

所以 ，．

要使與所成角的余弦值為，則有 ，        9分

所以 ，解得或，均適合．         11分

故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，        12分

考點(diǎn)：三視圖，立體幾何中的垂直關(guān)系、距離的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。本題將三視圖與證明、計(jì)算問題綜合考查，凸顯三視圖的基礎(chǔ)地位，必須正確還原幾何體。