Question

在銳角△ABC中，A、B、C三內角所對的邊分別為a、b、c，cos2A+

1

2

=sin2A，a=

7

．
（1）若b=3，求c；
（2）求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：把已知的等式cos²A+

1

2

=sin²A變形后，利用二倍角的余弦函數公式化簡求出cos2A的值，由A為銳角，得到A的范圍，進而得到2A的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，
（1）由A的度數求出cosA的值，利用余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，把a，b及cosA的值代入，得到關于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；
（2）由A的度數求出sinA的值，利用余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，把a，cosA的值代入，并利用基本不等式進行化簡，可求出bc的最大值，然后由三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積S，把bc的最大值及sinA的值代入，即可求出面積的最大值．

解答：解：∵cos²A+

1

2

=sin²A，
∴cos²A-sin²A=-

1

2

，即cos2A=-

1

2

，
又0＜A＜

π

2

，∴0＜2A＜π，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
（1）∵a=

7

，b=3，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：7=9+c²-3c，即c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2，
而當c=1時，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2 7

＜0，與B為銳角矛盾，
∴c=1舍去，即c=2；
（2）∵a=

7

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²-bc=7，
又b²+c²≥2bc，
∴b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤7，
∴S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×7×

3

2

=

7 3

4

，
則△ABC面積的最大值為

7 3

4

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：余弦定理，二倍角的余弦函數公式，余弦函數的圖象與性質，三角形的面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．