Question

已知x=1是的一個極植點
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵x=1是的一個極值點
∴f′（1）=0
∵
∴2+b+1=0
∴b=-3
∴
令，x＞0可得x＞1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）=2x+lnx
設過點（2，5）與曲線y=g（x）相切的切點坐標為（x₀，y₀）
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2）
∴2x₀+lnx₀-5=（2+）（x₀-2）
∴l(xiāng)nx₀+-2=0
令h（x）=lnx+-2，則
令可得x=2
當0＜x＜2時，h′（x）＜0；當x＞2時，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
∵h（）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=＞0
∴h（x）與x軸有兩個交點
∴過點（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．
分析：（1）根據(jù)x=1是的一個極值點，可得f′（1）=0，從而可求b的值，令導數(shù)大于0，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設過點（2，5）與曲線y=g（x）相切的切點坐標為（x₀，y₀），求出切線方程，可得lnx₀+-2=0，構(gòu)建函數(shù)h（x）=lnx+-2，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得h（x）與x軸有兩個交點，從而可得結(jié)論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查導數(shù)的幾何意義，解題的關鍵是正確求導，屬于中檔題．