Question

從1，2，3，…n中這n個數(shù)中取m（m，n∈N^*，3≤m≤n）個數(shù)組成遞增等差數(shù)列，所有可能的遞增等差數(shù)列的個數(shù)記為f（n，m）．
（Ⅰ）當(dāng)n=5，m=3時，寫出所有可能的遞增等差數(shù)列及f（5，3）的值；
（Ⅱ）求f（100，10）；
（Ⅲ）求證：f（n，m）＞

(n-m)(n+1)

2(m-1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（n，m）的定義，可得所有可能的遞增等差數(shù)列及f（5，3）的值；
（Ⅱ）設(shè)滿足條件的一個等差數(shù)列首項(xiàng)為a₁，公差為d，d∈N^*．確定d的可能取值為1，2，3，…，11，即可求f（100，10）；
（Ⅲ）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a₁，公差為d，a_m=a₁+（m-1）d，則d=

am-a1

m-1

≤

n-1

m-1

，對于給定的d，a₁=a_m-（m-1）d，當(dāng)a₁分別取1，2，3，…，n-（m-1）時，可得遞增等差數(shù)列n-（m-1）d個．所以當(dāng)d取1，2，3，…，t時，得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)f（n，m）=nt-（m-1）•

t(t+1)

2

，確定|

n-m

m-1

-

2n-m+1

2(m-1)

|＞|

2n-m+1

2(m-1)

-

n-1

m-1

|，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：符合要求的遞增等差數(shù)列為1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4個．
∴f（5，3）=4．…（3分）
（Ⅱ）解：設(shè)滿足條件的一個等差數(shù)列首項(xiàng)為a₁，公差為d，d∈N^*．
∵a₁₀=a₁+9d，
∴d=

a10-a1

9

≥

100-1

9

=11，
∴d的可能取值為1，2，3，…，11．
對于給定的d，a₁=a₁₀-9d≤100-9d，當(dāng)a₁分別取1，2，3，…，100-9d時，可得遞增等差數(shù)列100-9d個（如：d=1時，a₁≤91，當(dāng)a₁分別取1，2，3，…，91時，可得遞增等差數(shù)列91個：1，2，3，…，11；2，3，…，12；…；91，92，93，…，100，其它同理）．
∴當(dāng)d取1，2，3，…，11時，可得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)為：
f（100，10）=100•11-9（1+2+3+…+11）=506．…（8分）
（Ⅲ）證明：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a₁，公差為d，a_m=a₁+（m-1）d，
∴d=

am-a1

m-1

≤

n-1

m-1

，
記

n-1

m-1

的整數(shù)部分是t，則

n-1

m-1

-1＜t≤

n-1

m-1

，即

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

．
d的可能取值為1，2，3，…，t，
對于給定的d，a₁=a_m-（m-1）d，當(dāng)a₁分別取1，2，3，…，n-（m-1）時，可得遞增等差數(shù)列n-（m-1）d個．
∴當(dāng)d取1，2，3，…，t時，得符合要求的等差數(shù)列的個數(shù)f（n，m）=nt-（m-1）•

t(t+1)

2

=-

m-1

2

[t-

2n-m+1

2(m-1)

]²+

(2n-m+1)2

8(m-1)

由題意

n-m

m-1

＜

2n-m+1

2(m-1)

≤

n-1

m-1

．
又∵|

n-m

m-1

-

2n-m+1

2(m-1)

|=

m+1

2(m-1)

，|

2n-m+1

2(m-1)

-

n-1

m-1

|=

m-3

2(m-1)

，
∴|

n-m

m-1

-

2n-m+1

2(m-1)

|＞|

2n-m+1

2(m-1)

-

n-1

m-1

|．
∴f（n，m）＞n•

n-m

m-1

-（m-1）•

n-m m-1 ( n-m m-1 +1)

2

=

(n-m)(n+1)

2(m-1)

．
即f（n，m）＞

(n-m)(n+1)

2(m-1)

．                            …（13分）

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查數(shù)列知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵，屬于難題．