Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(2x-

π

4

)，有下列命題：
①其表達(dá)式可寫成f(x)=cos(2x+

π

4

)；
②直線x=-

π

8

是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；
③f（x）的圖象可由g（x）=sin2x的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得到；
④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立
則其中真命題為（　　）

A．②③

B．①②

C．②④

D．③④

Answer 1

分析：①將兩函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，若表示同一個(gè)函數(shù)，則①正確，否則錯(cuò)誤．
②若x=-

π

8

時(shí)，f（x）取得最值，則②正確．否則錯(cuò)誤．
③根據(jù)左加右減原則，寫出平移后圖象對(duì)應(yīng)的解析式，進(jìn)行對(duì)照可以斷定正誤
④考慮先取特殊值，比如取α=

π

2

等進(jìn)行驗(yàn)證．

解答：解：f(x)=sin(2x-

π

4

)=

2

2

（sin2x-cos2x）．
f(x)=cos(2x+

π

4

)=

2

2

（cos2x-sin2x）．與原函數(shù)不為同一個(gè)函數(shù)，①錯(cuò)誤．
②x=-

π

8

時(shí)，f（x）=sin[2×（-

π

8

）-

π

4

]=sin（-

π

2

）=-1，函數(shù)取得最小值，所以直線x=-

π

8

是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸．②正確
③將g（x）=sin2x的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得到，得到圖象對(duì)應(yīng)的解析式是y=sin2（x-

π

4

）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x，與f（x）不為同一個(gè)函數(shù)．③錯(cuò)誤．
④取α=

π

2

，f（x+α）=f（x+

π

2

）=sin[2(x+

π

2

)-

π

4

]=sin（2x+

3π

4

），f（x+3α）=f（x+3•

π

2

 ）=sin[2(x+

3π

2

)-

π

4

]=sin（2x+3π-

π

4

）=sin（2x+2π+π-

π

4

）=sin（2x+

3π

4

），
所以存在取α=

π

2

∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立． ④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)，三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象變換．在圖象平移變換中，針對(duì)的是x的變化，③中，平移后相位應(yīng)由2x變化為2（x-

π

4

）即為2x-

π

2

，而不是2x-

π

4

．