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已知函數f（x）=x+數學公式．
（1）求函數f（x）的定義域．
（2）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（3）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數．

解：（1）由題意若函數f（x）=x+的解析式有意義
自變量須滿足x≠0，
所以函數的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）此函數是一個奇函數，證明如下
由（1）知函數的定義域關于原點對稱，
又∵f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），
∴函數是奇函數；
（3）此函數在（0，1）上是減函數，證明如下：
任取x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＜1，x1•x2-1＜0
f（x1）-f（x2）=（）-（）=（x1-x2）（）＞0
即有f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）
故函數在（0，1）上是減函數
分析：（1）求函數f（x）的定義域，可令函數解析式的分母不為0，即可得到所求函數的定義域；
（2）判斷函數的奇偶性，要用定義法，由函數解析式研究f（-x）與f（x）的關系，即可證明出函數的性質；
（3）此函數是一個減函數，由定義法證明要先任取定義域內兩個實數x1，x2且x1＜x2，再兩函數值作差，判斷差的符號，再由定義得出結論．
點評：本題考查了求函數的定義域，對數的運算法則，判斷函數的奇偶性，定義法證明函數單調性，正確解答本題，關鍵是熟練記憶函數的性質及這些性質判斷的方法，其中判斷函數的單調性是本題的難點，定義法判斷函數的單調性，其步驟是；取，作差，判號，得出結論，其中判號這一步易疏漏，切記
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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