Question

設(shè)a＞0，定點(diǎn)F（a，0），直線l：x=-a交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)B是l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)B垂直于l的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M．
（I）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）設(shè)直線BF與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，證明：向量

HP

、

HQ

與

HF

的夾角相等．

Answer 1

分析：（I）連接MF根據(jù)題意可推斷出|MF|=|MB|，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義推知C的方程．
（II）設(shè)P，Q的坐標(biāo)和直線BF的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁x₂，令

HP

與

HF

的夾角為θ₁，

HQ

與

HF

的夾角為θ₂，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算可分別求得cosθ₁和cosθ₂的表達(dá)式，結(jié)果相等，根據(jù)θ₁和θ₂的范圍，推斷出二者相等．

解答：（I）解：連接MF，依題意有|MF|=|MB|，
所以動點(diǎn)M的軌跡是以F（a，0）為焦點(diǎn)，直線l：x=-a為準(zhǔn)線的拋物線，
所以C的方程為y²=4ax．（5分）
（II）解：設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
依題意直線BF的斜率存在且不為0，設(shè)直線BF的方程為y=k（x-a）（k≠0），
將其與C的方程聯(lián)立，消去y得k²x²-2a（k²+2）x+a²k²=0
故x₁x₂=a²．
記向量

HP

與

HF

的夾角為θ₁，

HQ

與

HF

的夾角為θ₂，其中0＜θ₁，θ₂＜π，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

HP

=(x1+a，y1)，

HF

=(2a，0)，
所以cosθ1=

HP • HF

|HP| • |HF|

=

2ax1+2a2

2a (x1+a)2+ y 2 1

=

x1+a

x 2 1 +6ax1+a2

；
同理cosθ2=

x2+a

x 2 2 +6ax2+a2

=

a2 x1 +a

a4 x 2 1 +6 a3 x1 +a2

=

x1+a

x 2 1 +6ax1+a2

因?yàn)閏osθ₁=cosθ₂，且0＜θ₁，θ₂＜π，
所以θ₁=θ₂，即

HP

、

HQ

與

HF

的夾角相等．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的定義，本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，向量的數(shù)量積的運(yùn)算．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和分析問題的能力．