Question

從棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取不同2點(diǎn)，設(shè)隨機(jī)變量ξ是這兩點(diǎn)間的距離．
（1）求概率P(ξ=

2

)；
（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）求出從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取不同2點(diǎn)的所有可能情況，對(duì)角線長(zhǎng)為

2

的所有可能情況，即可求概率P(ξ=

2

)；
（2）隨機(jī)變量ξ的取值共有1，

2

，

3

三種情況，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答： 解：（1）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取不同2點(diǎn)，共有

C

2 8

=28種．
因?yàn)檎�方體的棱長(zhǎng)為1，所以其面對(duì)角線長(zhǎng)為

2

，
正方體每個(gè)面上均有兩條對(duì)角線，所以共有2×6=12條．
因此P(ξ=

2

)=

12

28

=

3

7

．                     …（3分）
（2）隨機(jī)變量ξ的取值共有1，

2

，

3

三種情況．
正方體的棱長(zhǎng)為1，而正方體共有12條棱，于是P(ξ=1)=

12

28

=

3

7

．…（5分）
從而P(ξ=

3

)=1-P(ξ=1)-P(ξ=

2

)=1-

3

7

-

3

7

=

1

7

．  …（7分）
所以隨機(jī)變量ξ的分布列是

ξ	1	2	3
P（ξ）	3 7	3 7	1 7

…（8分）
因此E(ξ)=1×

3

7

+

2

×

3

7

+

3

×

1

7

=

3+3 2 + 3

7

．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)的運(yùn)用，考查隨機(jī)變量ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望，正確計(jì)算概率是關(guān)鍵．