Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,求以下各對異面直線所成的角:

(1)AB、CC₁;(2)AB₁、CD₁;

(3)AB₁、CD;(4)AB₁、BC₁.

Answer 1

解析:(1)∵ABCD—A₁B₁C₁D₁為正方體,

             ①

∴BB₁與CC₁平行,∴AB與BB₁所成的銳角或直角就是AB與CC₁所成的角.

又∵AB與BB₁所成的角為直角,故AB與CC₁所成的角為直角,即為90°,如圖①.

(2)如圖②,連結A₁B,

由ABCD—A₁B₁C₁D₁為正方體可得A₁D₁∥AD,BC∥AD,

            ②

故有A₁D₁∥BC,

∴四邊形A₁D₁CB是平行四邊形.

∴A₁B∥CD₁.

因此,AB₁與A₁B所成的銳角或直角就是AB₁、CD₁所成的角.

由正方形的性質可知AB₁與A₁B所成的角為直角,

∴AB₁、CD₁所成的角為直角,即為90°.

(3)如圖③,由AB與CD平行可得AB₁與CD所成的角就是∠B₁AB,而由正方形的性質可知這個角為45°.

               ③

∴AB₁與CD所成的角為45°.

(4)如圖④,連結AD₁,如前所述可知AB與C₁D₁平行且相等,進而可知四邊形ABC₁D₁為平行四邊形,

∴AD₁與BC₁平行且相等,由此可知∠D₁AB₁即是所求的兩條異面直線所成的角或其補角(現(xiàn)在還不知道這個角的大小).連結B₁D₁,

              ④

在△D₁AB₁中,AB₁=B₁D₁=AD₁(都是邊長相等的正方形的對角線),

由此我們可知△D₁AB₁是正三角形,

∴∠D₁AB₁的大小為60°.

小結:(1)在求兩條異面直線所成的角時,應注意充分利用題中現(xiàn)有的線段,在很多情況下,已知條件中已經存在與兩條異面直線平行的線段,只需我們把它找到即可.

(2)在作兩條異面直線的平行線時,我們通常采用平移的辦法來解決,比如這個問題中,我們可以想象把線段CD₁平移到A₁B,這種方法看起來與作平行的效果是相同的,但實際應用中是非常簡捷方便的.以后我們在解題的過程中一般都采用平移的方法來解決這個問題.

(3)在研究此類問題時,我們首先要把研究的對象(兩條異面直線)通過平移的方法使它們成為兩條相交直線.

(4)求兩條異面直線所成的角,主要的問題是平移,找平行線,如果沒有思路,我們可以試著把其中的一個線段平移,也可把兩個線段都平移而得到兩條相交直線.但是不管怎樣平移,中心目標是能夠形成一個可解的三角形.