Question

選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點(diǎn)，求BC的長(zhǎng)．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣

1 2 2 a

的屬于特征值b的一個(gè)特征向量為

1 1

，求實(shí)數(shù)a、b的值．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，-2）在曲線

x=2pt2 y=2pt

（t為參數(shù)，p為正常數(shù)），求p的值．
D．（不等式選講）
設(shè)a₁，a₂，a₃均為正數(shù)，且a₁+a₂+a₃=1，求證：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥9．

Answer 1

分析：A、連接OD，則OD⊥DC，先確定∠ODE=30°，再在Rt△ODC中，可求BC的長(zhǎng)；
B．根據(jù)二階矩陣的特征值與特征向量的概念，建立方程組，即可求得結(jié)論；
C．化參數(shù)方程為普通方程，將點(diǎn)A（1，-2）代入，即可求得p的值；
D．a(chǎn)₁，a₂，a₃均為正數(shù)，且a₁+a₂+a₃=1＞0，利用基本不等式即可證明．

解答：A、解：連接OD，則OD⊥DC，
在Rt△OED中，OE=

1

2

OB=

1

2

OD，所以∠ODE=30°，
在Rt△ODC中，∠DCO=30°，由DC=2得OD=DCtan30°=

2 3

3

，
所以BC=

2 3

3

．
B．解：由二階矩陣的特征值與特征向量的概念知

1 2 2 a

1 1

=b

1 1

，
所以

b=3 b=a+2

，解得a=1，b=3．
C．解：由

x=2pt2 y=2pt

（t為參數(shù)，p為正常數(shù)），消去參數(shù)t得y²=2px，將點(diǎn)A（1，-2）代入y²=2px得p=2．

D．證明：因?yàn)閍₁，a₂，a₃均為正數(shù)，且a₁+a₂+a₃=1＞0，
所以

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

=(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥3(a1a2a3)

1

3

•3(

1

a1

1

a2

1

a3

)

1

3

=9，
當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=

1

3

時(shí)等號(hào)成立，
所以

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥9．

點(diǎn)評(píng)：本題是選考內(nèi)容．A．主要考查三角形、圓的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、運(yùn)算求解能力；B\主要考查二階矩陣的特征值與特征向量，考查運(yùn)算求解能力；C主要考查參數(shù)方程，考查運(yùn)算求解能力；D主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證能力．