Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l與橢圓有A、B兩個不同的交點(diǎn)
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得e=

c

a

=

3

2

，

4

a2

+

1

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）l的方程為：y=

1

2

x+m，由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

得x2+2mx+2m2-4=0，由此利用根的判別式能求出m的取值范圍．
（III）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可證明直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)…（1分）
離心率e=

c

a

=

3

2

，
∴c2=

3

4

a2，解得b2=

1

4

a2，
由經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），

4

a2

+

1

b2

=1，
解得a²=8，b²=2，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解：∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又KOM=

1

2

∴l的方程為：y=

1

2

x+m…（5分）
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

∴x2+2mx+2m2-4=0…（6分）
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn)，

∴△=(2m)2-4(2m2-4)＞0， 解得-2＜m＜2，且m≠0…(8分)

（III）證明：設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
只需證明k₁+k₂=0即可…（9分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x2+2mx+2m2-4=0可得x1+x2+-2m，x1x2=2m2-4…（10分）
而k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

= ( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2) (x1-2)(x2-2) = x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1) (x1-2)(x2-2) = 2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1) (x1-2)(x2-2)

= 2m2-4-2m2+4m-4m+4 (x1-2)(x2-2) =0…(13分) ∴k1+k2=0

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．…（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，以及學(xué)生的運(yùn)算能力．