Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD
（Ⅰ）證明：平面SBD⊥平面SAC
（Ⅱ）當(dāng)SA=AD時，且∠ABC=60°時，求平面SAD與平面SBC所成角θ的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，相交于點O，由已知條件推導(dǎo)出SA⊥BD，AC⊥BD，從而得到BD⊥平面SAC，由此能證明平面SBD⊥平面SAC．
（Ⅱ）取BC的中點E，以A點為原點，AE、AD、AS所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面SAD與平面SBC所成角θ的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AC、BD，相交于點O，
∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC，
又BD?平面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC．
（Ⅱ）取BC的中點E，以A點為原點，AE、AD、AS所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)SA=AD=DC=2，由∠ABC=60°°，
得A（0，0，0），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），
D（0，2，0），S（0，0，2），
∴平面SAD的一個法向量

AE

=(

3

，0，0)，
設(shè)平面SBC的一個法向量

n

=(x，y，z)，
∵

BS

=(-

3

，1，2)，

BC

=(0，2，0)，
∴由

n • BS =0 n • BC =0

，得

- 3 x+y+2z=0 2y=0

，
取x=2，得

n

=(2，0，

3

)，
∴cosθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=|

2 3

3 • 7

|=

2 7

7

．
∴平面SAD與平面SBC所成角θ的余弦值為

2 7

7

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查平面與平面所成角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．