如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=，PB⊥PD。
（1）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大小；
（3）設(shè)點M在棱PC上，且=λ，問λ為何值時，PC⊥平面BMD。
解：∵PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥BD
又PB⊥PD，BO=2，PO=，
∴OD=OC=1，BO=AO=2，
以O(shè)為原點，OA、OB、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則各點坐標為O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，）。
（1）∵，
∴
∴
故直線PD與BC所成角的余弦值為。
（2）設(shè)平面PAB的一個法向量為n=（x，y，z）
由于
得
令x=1，則y=1，z=
∴n=（1，1，）
又易知平面ABCD的一個法向量m=（0，0，1），
∴cos〈m，n〉=
又二面角P-AB-C是銳角，
∴所求二面角P-AB-C的大小為45°。
（3）設(shè)M（x0，0，z0），由于P、M、C三點共線，
∴ ①
∵PC⊥平面BMD，
∴OM⊥PC
∴（-1，0，-）·（x0，0，z0）=0
∴ ②
由①②知
∴
∴=2
故λ=2時，PC⊥平面BMD。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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