Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-

kx

x+1

（k為常數(shù)）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證不等式

x

ln(x+1)

-1＜

x

2

在x∈（0，1）時恒成立．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出導函數(shù)，令導函數(shù)大于0，求出x的范圍，通過討論x的范圍與定義域的關(guān)系，求出遞增區(qū)間和遞減區(qū)間
（2）通過構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導函數(shù)研究g（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，不等式得證．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（-1，+∞）（1分）
f'（x）=

1

x+1

-

k

(x+1)2

=

x-(k-1)

(x+1)2

（2分）
令f'（x）＞0得：x＞k-1
當k-1≤-1即k≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞）（3分）
當k-1＞-1即k＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，k-1），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（k-1，+∞）（5分）
（2）當x∈（0，1）時，原不等式等價于ln（x+1）

x+2

x+1

＞2．
令g（x）=ln（x+1）+

x+2

x+1

，g′(x)=

1

x+1

-

1

(x-1)2

=

x

(x+1)2

（7分）
∵x∈（0，1）∴g'（x）＞0恒成立
∴g（x）在（0，1）是單調(diào)遞增（9分）
∴g（x）＞g（0）=2
∴g（x）＞2在（0，1）上恒成立
故原不等式

x

ln(x+1)

-1＜

x

2

在區(qū)間（0，1）上恒成立．（12分）

點評：本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值、通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式、分類討論的數(shù)學思想方法在解題中的應用．