Question

若兩個等差數列的前n項和之比是(7n+1)∶(4n+27),試求它們的第11項之比.

Answer 1

思路分析:本題主要考查等差數列的性質及前n項和公式.本題可以采用基本量法或結合函數性質及前n項和公式S_n=來求解.

解法一(利用基本量法):設兩個等差數列的公差分別為d₁、d₂,首項分別為a₁、b₁,前n項和分別為S_n、S_n′,則===.于是=,=,且=,于是a₁=d₁,b₁=d₂,

∴====.

    解法二(利用等差數列的性質):設數列{a_n}的前n項和為S_n,數列{b_n}的前n項和為S_n′,

    則有a₁₁=,b₁₁=,

    所以=====.

    解法三(利用等差數列前n項和是關于n的二次函數解題):令S_n=(7n+1)·nk,S_n′=(4n+27)·nk,

    由a_n=S_n-S_n-1=k(14n-6),得a₁₁=148k,

    由b_n=S_n′-S_n-1′=k(8n+23),得b₁₁=111k,

    所以==.

    思維啟示:(1)解法一是運用基本量法;解法二關鍵抓住了等差數列的通項與前n項和之間的關系;解法三利用了等差數列的函數特性.三種方法均具一般性.

(2)===,于是=.

(3)錯解:由于=,于是設S_n=(7n+1)k,S_n′=(4n+27)k,則有a₁₁=S₁₁-S₁₀=(7×11+1)k-(7×10+1)k=7k,b₁₁=S₁₁′-S₁₀′=(4×11+27)k-(4×10+27)k=4k,

∴==.

    錯因分析:該解法錯誤的原因是沒有搞清楚等差數列前n項和的形式,它應是關于n的二次函數形式An²+Bn(A、B是常數),而不是一次函數形式,同學們解題時,一定要考慮a_n,S_n的表達形式.