Question

如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知三點(diǎn)E（0，3），F(xiàn)（0，1），G（0，-1），直線L：y=-1，M是直線L上的動(dòng)點(diǎn)，H．P是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E的直線m與點(diǎn)P的軌跡交于相異兩點(diǎn)A．B，設(shè)向量夾角為θ，且，求直線m斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x，y），M（a，0），∵，
∴PM∥y軸，
∴點(diǎn)P在直線x=a上．
又，，
∴PH⊥FM，點(diǎn)P在線段FM的垂直平分線上，由拋物線定義，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動(dòng)點(diǎn)P 軌跡方程是x²=4y；
（2） 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程：y=kx+3，把它代入x²=4y，得
x²-4kx-12=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12，
y₁+y₂=4k²-6，y₁y₂=9．
設(shè)AB在x軸的射影是A₁B₁，
=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
||•||=|FA₁|•|FB₁|=（y₁+1）•（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1，
∴cosθ==≤cos≤-，解得|k|≥1+
∴k∈（-∞，-1-]∪[1+，+∞）
分析：（1）根據(jù)且，點(diǎn)P在直線x=a上，由拋物線定義，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，求出動(dòng)點(diǎn)P 軌跡方程；（Ⅱ）直線與拋物線相交，聯(lián)立方程，利用偉大定理，尋找向量夾角為θ的余弦值，求出直線m斜率的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：考查平面向量與解析幾何的結(jié)合，體現(xiàn)了向量的工具性，考查了拋物線的定義和直線與拋物線的位置關(guān)系，在求解過(guò)程中，韋達(dá)定理的應(yīng)用體現(xiàn)了方程的思想，和整體代換的思想方法，屬中檔題．