Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知“葫蘆”曲線C由圓弧C₁與圓弧C₂相接而成，兩相接點(diǎn)M，N均在直線y=-

2

3

上．圓弧C₁所在圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為r₁=2；圓弧C₂過點(diǎn)A（0，-6

2

）．
（Ⅰ）求圓弧C₂的方程；
（Ⅱ）已知直線l：mx-y-3

2

=0與“葫蘆”曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．當(dāng)|EF|=4+4

2

時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件確定圓弧C₂對(duì)應(yīng)的圓心和半徑即可．（Ⅱ）

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閳A弧C₁所在圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為r₁=2，所以BM=

OM2-OB2

=

4- 2 9

=

34

3

．
所以M（-

34

3

，-

2

3

），N（

34

3

，-

2

3

），
設(shè)圓弧C₂的圓心為（0，b），b＜0，半徑為r．
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-b）²=r²，
則因?yàn)閳A弧C₂過點(diǎn)N（

34

3

，-

2

3

）和A（0，-6

2

），
所以

(-6 2 -b)2=r2 ( 34 3 )2+(- 2 3 -b)2=r2

，解得b=-3

2

，r=3

2

，
所以圓弧C₂的方程為x2+(y+3

2

)2=18．
（Ⅱ）直線mx-y-3

2

=0過圓弧C₂的圓心，因?yàn)閳A弧C₂的直徑為6

2

≤4+4

2

，所以直線與兩個(gè)圓分別相交．

設(shè)圓弧C₂的圓心為D，設(shè)F（x，y），則DE=3

2

，所以DF=EF-DE=4+4

2

-3

2

=4+

2

．
則DF2=x2+(y+3

2

)2=(4+

2

)2，
即x2+y2+6

2

y+18=16+8

2

+2，
因?yàn)閤²+y²=4，所以4+6

2

y+18=16+8

2

+2，即6

2

y=8

2

-4，
解得y=

4- 2

3

，代入x²+y²=4，解得x=±

4+ 2

3

，
即F（

4+ 2

3

，

4- 2

3

）或（-

4+ 2

3

，

4- 2

3

），
所以代入直線mx-y-3

2

=0，解得m=2

2

或-2

2

．
所以直線方程為：2x-

2

y-3=0或2x+

2

y+3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．