Question

1．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2），則a_n=（2n-1）•2ⁿ．

Answer 1

分析 通過(guò)將等式a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2）兩邊同時(shí)除以2ⁿ、整理可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$+$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+2，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=（2n-1）•2ⁿ，
故答案為：（2n-1）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．