Question

已知橢圓C₁的一個焦點為（0，-

3

），且橢圓經(jīng)過點（

1

2

，

3

）．開口向上的拋物線C₂的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，C₁的中心和C₂的頂點均為坐標(biāo)原點O．
（1）求C₁和C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）A、B為拋物線C₂上的點，分別過A、B作拋物線C₂的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在其準(zhǔn)線上．
    ①直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，說明理由；
    ②指出點Q與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件設(shè)橢圓C₁的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，并利用橢圓的定義求出a=2，再由c=

3

，能求出橢圓C₁的方程；設(shè)拋物線C₂的方程為x²=2py，由拋物線的定義求出p=2，由此能求出拋物線C₂的方程．
（2）①設(shè)A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，利用導(dǎo)數(shù)求出過點A的切線AQ的方程，求出過點B的切線BQ的方程，由此求出直線AB的方程，從而能夠證明直線AB過定點（0，1）．
②利用已知條件求出

QA

•

QB

=0，由此得到QA⊥QB，從而推導(dǎo)出點Q在以線段AB為直徑的圓上．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）∵橢圓C₁的一個焦點為（0，-

3

），且橢圓經(jīng)過點（

1

2

，

3

）
∴設(shè)橢圓C₁的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，c=

3

，
∴2a=

( 1 2 -0)2+( 3 - 3 )2

+

( 1 2 -0)2+( 3 + 3 )2

=

1

2

+

7

2

=4，
∴a=2．…（1分）
又∵c=

3

，∴b=

22-( 3 )2

=1，
∴橢圓C₁的方程為

y2

4

+x2=1．…（2分）
∵拋物線C₂的開口向上，
∴拋物線C₂的方程為x²=2py．
∵拋物線C₂的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，∴p=2，…（3分）
∴拋物線C₂的方程為x²=4y．…（4分）
（2）①解：設(shè)A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)．
由x²=4y得：y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴過點A的切線AQ的方程為y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1)，
即y=

x1

2

x-

x 2 1

4

．…（5分）
同理過點B的切線BQ的方程為y-

x 2 2

4

=

x2

2

(x-x2)，
即y=

x2

2

x-

x 2 2

4

．…（6分）
于是得交點Q(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．…（7分）
∵點Q恰好在準(zhǔn)線y=-1上，∴x₁x₂=-4．…（8分）
又kAB=

x12 4 - x22 4

x1-x2

=

x1+x2

4

，
∴直線AB的方程為y-

x12

4

=

x1+x2

4

(x-x 1)，
化簡得y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，即y=

x1+x2

4

x+1，…（9分）
∴直線AB過定點（0，1）．…（10分）
②∵Q(

x1+x2

2

，-1)，∴

QA

=(

x1-x2

2

，

x12

4

+1)，

QB

=(

x2-x1

2

，

x22

4

+1)，（11分）
∴

QA

•

QB

=-

(x1-x2)2

4

+(

x 2 1

4

+1)(

x 2 2

4

+1)
=

x 2 1 x 2 2

16

+

x1x2

2

+1=1-2+1=0．…（13分）
∴QA⊥QB，
∴點Q在以線段AB為直徑的圓上．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，考查直線是否過定點的判斷與求法，考查點與圓與的位置關(guān)系，解題時要注意直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的合理運用．