設(shè)，是否存在整式g（n）使得a1+a2+…+an-1=g（n）•（an-1）對(duì)不小于2的一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論．
【答案】分析：進(jìn)而求得 最后（n-1）an-1-（n-2）an-2=nan-n=n（an-1），判斷存在關(guān)于n的整式g（n）=n
解答：解：由題意，，∴nan-（n-1）an-1=an-1+1，（n-1）an-1-（n-2）an-2=an-2+1，…，2a2-a1=a1+1，疊加得：a1+a2+…+an-1=n（an-1），對(duì)不小于2的一切自然數(shù)n都成立，g（n）=n
故存在關(guān)于n的整式g（x）=n，使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立．
下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時(shí)，左邊a1=1，右邊=2×（a2-1）=1，此時(shí)等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k，（k＞2）成立，即a1+a2+…+ak-1=k（ak-1），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a1+a2+…+ak-1+ak=k（ak-1）+ak=（k+1）ak-k=（k+1）（ak-）=（k+1）（ak-1）成立．
即由①②知，等式對(duì)任意的n＞2，都恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．即數(shù)列與不等式相結(jié)合的問(wèn)題考查，考查了學(xué)生綜合思維能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，且點(diǎn)P（an，an+1）（n∈N*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)f(n)=
1
n+a1
+
1
n+a2
+
1
n+a3
+…+
1
n+an
(n∈N，且n≥2)，求函數(shù)f（n）的最小值；
（3）設(shè)bn=
1
an
，Sn表示數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和．試問(wèn)：是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）•g（n）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫(xiě)出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)an=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，是否存在整式g（n）使得a1+a2+…+an-1=g（n）•（an-1）對(duì)不小于2的一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，且點(diǎn)P（an，an+1）（n∈N*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=
1
anan+2
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）設(shè)bn=
1
an
，Sn表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．試問(wèn)：是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）•g（n）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫(xiě)出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)an=1+++…+ (n∈N+)，是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)對(duì)于大于1的一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案