Question

對定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意的，都有，且對任意的都有恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“型”函數(shù)．

（1）求證：函數(shù)是上的“型”函數(shù)；

（2）設(shè)是（1）中的“型”函數(shù)，若不等式對一切的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)是區(qū)間上的“型”函數(shù)，求實數(shù)和的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析;（2）;（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可將函數(shù)中的絕對值去掉可得一個分段函數(shù)，可作出函數(shù)的圖象，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，；當(dāng)時，，由此可易得證; （2）由（1）中的函數(shù)不難求出函數(shù)的最小值，這們即可將問題轉(zhuǎn)化為求恒成立，這是一個關(guān)于的含有絕對值的不等式，去掉絕對值可得，然后采用先分開后合并的方法求出此不等式的解集; （3）根據(jù)題中“型”函數(shù)的定義，則可假設(shè)存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意的，都有，這樣即可得到一個恒等式，即對任意恒成立，則對應(yīng)系數(shù)分別相等，即可求出對應(yīng)的，注意要回代檢驗一下，判斷其余的是否均大于這個最小值．

試題解析：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，

∴ 存在閉區(qū)間和常數(shù)符合條件．                        4分

（2）對一切的恒成立，

∴ ，                         6分

解得 ．                                                    10分

（3）存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意的，

都有，即，

∴ 對任意恒成立

∴ 或                               12分

① 當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)，即時，

由題意知，符合條件；                                     14分

②當(dāng)時，  

∴不符合要求；                                          16分

綜上，．

考點：1.新定義題;2.分段函數(shù)的處理;3.函數(shù)的最值