Question

如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別為B，D，若增加一個條件，就能推出BD⊥EF．現(xiàn)有①AC⊥β；②AC∥EF③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上．那么上述幾個條件中能成為增加條件的序號是

 

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Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：要增加一個條件，推出BD⊥EF，由AB⊥α，CD⊥α，則平面ABDC與EF垂直，需要加一個條件能夠使得線與面垂直，把幾個選項逐個分析，得到結(jié)論．
①由線面垂直的性質(zhì)和判定，即可得到EF垂直于平面ABDC；
②若AC∥EF則AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF；
③運用線面垂直的判定和性質(zhì)，即可證得EF垂直于平面ABDC．

解答： 解：∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，AB⊥EF，CD⊥EF
要增加一個條件，推出BD⊥EF，則必有平面ABDC與EF垂直，
①AC⊥β，則AC⊥EF，則EF垂直于平面ABDC；
②AC∥EF，由線面平行的判定和性質(zhì)得到，BD∥EF，推不出EF垂直于平面ABDC；
③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，
∵CD⊥α且EF?α∴EF⊥CD．
∴EF與CD在β內(nèi)的射影垂直，
∵AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上∴EF⊥AC，
∵AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，∴EF⊥平面ACBD，
∵BD?平面ACBD，
∴BD⊥EF．
故答案為：①③．

點評：本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定和性質(zhì)來說清楚題目的對錯，屬于中檔題．