Question

如圖所示,斜邊為AB的Rt△ABC,過A作PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分別為垂足.

(1)求證:PB⊥平面AEF;

(2)若∠PBA=∠BAC=45°,求二面角A-PB-C的大小;

(3)若PA=AB=2,∠BPC=θ,求θ為何值時,S_△AEF最大,最大值是多少?

Answer 1

(1)證明:BC⊥平面PAC,再證AF⊥平面PBC,即可證PB⊥平面AEF.

(2)解:∠AEF是所求二面角的平面角,設AB=a,

∴AE=a,AC=a,PC=a.

又AF=a,∴sin∠AEF=.∴∠AEF=arcsin.

(3)解:由題意P,A,B,E是定點,C,F是動點,且F隨C運動而運動.

∵C在平面ABC內沿以AB為直徑的圓周上移動(不包括A,B兩點),由PB⊥平面AEF,且∠AFE=90°,

∴F在過A而垂直于PB的平面內,在以AE為直徑的圓周上移動(不包括A,E兩點).

∴當AF=EF時,S_△AEF最大,此時AE=AB=,EF=AE=1.

在Rt△PEF中,PE=PB=AB=,tanθ==,

∴θ=arctan時,S_△AEF最大,最大值為AF·EF=.