Question

已知函數(shù)f(x)=x(x-a)(x-b)，點(diǎn)A(s，f(s))，B(t，f(t))，
(Ⅰ)若a=0，b=3，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí)，若不等式f(x)+x³lnx+x²≥0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x恒成立，求b的取值范圍；
(Ⅲ)若0＜a＜b，函數(shù)f(x)在x=s和x=t處取得極值，且a+b＜2，求證：直線OA與直線OB不可能垂直（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)=x³-3x²，f′(x)=3x²-6x，
∴k=-3，
又f(1)=-2，
∴所求切線方程為3x+y-1=0。
(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí)，x²(x-b)+x³lnx+x²≥0，即b≤x+xlnx+1，
令g(x)=x+xlnx+l，g′(x)=lnx+2，
由g′(x)=0，得x=e^-2，

 由上表知g（x）的最小值為，
所以有。
(Ⅲ)假設(shè)，即，
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1，即[st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1，
由s，t為f′(x)=3x²-2(a+b)x+ab=0的兩根可得，，
從而有，
，
即，這與a+b＜2矛盾，
故直線OA與直線OB不可能垂直。