Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，b_n≠0
（1）求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令c_n=，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求證：T_n＜2．

Answer 1

（1）證明：∵b_n=a_n-1，b_n≠0
∴a_n=b_n+1
又2a_n=1+a_na_n+1，
∴2（1+b_n）=1+（b_n+1）（b_n+1+1）
化簡得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1…（2分）
∵b_n≠0
∴
∴
∵
∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．…（4分）
∴
∴
∴…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C_n=．
∴T_n=①，
T_n=②…（9分）
①-②得：T_n===…（11分）
∴T_n=2-＜2（12分）
分析：（1）由題意可得a_n=b_n+1，結(jié)合2a_n=1+a_na_n+1，代入化簡得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，從而可得，可證是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項可求，進(jìn)而可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C_n=，利用錯位相減可求數(shù)列的和
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列，求解數(shù)列的通項公式，錯位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點與難點，要注意掌握