Question

已知定點(diǎn)A（0，2），B（0，-2），C（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：

AP

•

BP

=m|

pc

|2
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明方程表示的曲線類型；
（II）當(dāng)m=2時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x，y）（y≥0），求

y

x-8

的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y），則

AP

=（x，y-2），

BP

=（x，y+2），

PC

=（2-x，-y）
∵

AP

•

BP

=m|

PC

|²，
∴(x，y-2)•(x，y+2)=m(

(2-x)2+(-y)2

)2
∴x²+y²-4=m[（x-2）²+y²]
即（1-m）x²+（1-m）y²+4mx-4m-4=0，
若m=1，則方程為x=2，表示過(guò)點(diǎn)（2，0）且平行于y軸的直線；
若m≠1，則方程化為：(x-

2m

m-1

)2+y2=(

2

m-1

)2，表示以（

2m

m-1

，0）為圓心，以

2

|1-m|

 為半徑的圓；   
（Ⅱ）當(dāng)m=2時(shí)，方程化為（x-4）²+y²=4；
設(shè)

y

x-8

=k，則y=kx-8k，圓心（4，0）到直線y=kx-8k的距離d=

|4k-8k|

k2+1

=2時(shí)，
解得k=±

3

3

，又y≥0，所以點(diǎn)P（x，y）所在圖形為上半個(gè)圓（包括與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），
故直線與半圓相切時(shí)k=-

3

3

；
當(dāng)直線過(guò)x軸上的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)知k=0；
因此

y

8-x

的取值范圍是[-

3

3

，0]．