Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處的切線方程；
（2）設(shè)F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）（a＞0），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線的方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，討論a=2，a＞2，0＜a＜2時(shí)，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，
f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處的切線斜率為1+1=2，
切點(diǎn)為（e，e），則切線的方程為y-e=2（x-e），
即為2x-y-e=0；
（2）F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）=ax²-（a+2）x+1+lnx，
F′（x）=2ax-a-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
當(dāng)a=2時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0恒成立，函數(shù)遞增；
當(dāng)a＞2時(shí)，$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{a}$，由F′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1}{a}$，由F′（x）＜0可得$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$．
可得f（x）在（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）遞減，在（0，$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a}$，由F′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{a}$或0＜x＜$\frac{1}{2}$，由F′（x）＜0可得$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{a}$．
可得f（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）遞減，在（0，$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，正確求導(dǎo)和分類討論是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．