Question

函數(shù)f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-

  1

  2

  ，1-

  2

  ）
• B、[-

  1

  2

  ，1-

  2

  ]
• C、（-∞，1-

  2

  ）
• D、（-∞，1-

  2

  ）∪（1+

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令t=e^x，則t＞0，則函數(shù)f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1的解析式可化為y=g（t）=

1

3

t3+mt2+(2m+1)t+1，則函數(shù)f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)，可化為g′（t）=t²+2mt+2m+1=0有兩個(gè)正根，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于m的不等式組，解不等式組，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：令t=e^x，則t＞0，
則y=f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1，可化為：
y=g（t）=

1

3

t3+mt2+(2m+1)t+1，
則g′（t）=t²+2mt+2m+1，
若函數(shù)f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則g′（t）=t²+2mt+2m+1=0有兩個(gè)正根，
∴

△=4m2-4(2m+1)＞0 -m＞0 2m+1＞0

，
解得：m∈（-

1

2

，1-

2

），
故選：A

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，運(yùn)算量大，轉(zhuǎn)化復(fù)雜，屬于中檔題．