Question

4．設(shè)集合A₁，A₂，A₃…A_n中元素的個(gè)數(shù)分別為1，2，3，…n，…，現(xiàn)從A_n，A_n+1，A_n+2，A_n+3中各取一個(gè)元素，記不同取法種數(shù)為f（n）．
（1）求f（1）；
（2）是否存在常數(shù)a，b，使得f（1）+f（2）+…+f（n）=a（n+2）⁵-（n+2）³+b（n+2）對(duì)任意n∈N^*總成立？若存在，請(qǐng)求出a，b的值，并用數(shù)字歸納法證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意得到f（n）=n（n+1）（n+2）（n+3），繼而求出f（1）的值；
（2）假設(shè)存在a，b，使得所給等式成立．通過(guò)n=1，2，列出方程組，求出a，b即可．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立．

解答 解：（1）A_n，A_n+1，A_n+2，A_n+3中各取一個(gè)元素，記不同取法種數(shù)為f（n），
則f（n）=n（n+1）（n+2）（n+3），
∴f（1）=1×2×3×4=24；
（2）假設(shè)存在常數(shù)a，b使f（1）+f（2）+…+f（n）=a（n+2）⁵-（n+2）³+b（n+2）對(duì)任意n∈N^*總成立，
令n=1與n=2得：
f（2）=2×3×4×5=120，
f（1）=3⁵a-27+3b=24，f（1）+f（2）=4⁵a-4³+4b=24+120，
解得a=$\frac{1}{5}$，b=$\frac{4}{5}$，
即f（1）+f（2）+…+f（n）=A₄⁴[C₄⁴+C₅⁴+C₆⁴+…C_n+3⁴]=A₄⁴[C₅⁵+C₅⁴+C₆⁴+…C_n+3⁴]
=${A}_{4}^{4}•{C}_{n+4}^{5}$=$\frac{1}{5}$（n+2）⁵-（n+2）³+$\frac{4}{5}$（n+2）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由以上可知等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即f（1）+f（2）+…+f（k）=${A}_{4}^{4}•{C}_{k+4}^{5}$=$\frac{1}{5}$（k+2）⁵-（k+2）³+$\frac{4}{5}$（k+2），
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，f（1）+f（2）+…+f（k）+f（k+1）=${A}_{4}^{4}•{C}_{k+5}^{5}$，
而$\frac{1}{5}$（k+1+2）⁵-（k+1+2）³+$\frac{4}{5}$（k+1+2）
=$\frac{1}{5}（k+2）^{5}+（k+2）^{4}+2（k+2）^{3}+2（k+2）^{2}+（k+2）+1$$-\frac{4}{5}$-（k+2）³-3（k+2）²-3（k+2）-1$+\frac{4}{5}（k+2）+\frac{4}{5}$．
=$\frac{1}{5}$（k+2）⁵-（k+2）³+$\frac{4}{5}$（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
=${A}_{4}^{4}•{C}_{k+4}^{5}$+（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）=${A}_{4}^{4}•{C}_{k+5}^{5}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．
綜①②所述，等式f（1）+f（2）+…+f（n）=${A}_{4}^{4}•{C}_{n+4}^{5}$=$\frac{1}{5}$（n+2）⁵-（n+2）³+$\frac{4}{5}$（n+2）對(duì)任何對(duì)任意n∈N^*總成立．

點(diǎn)評(píng) 本題是探索性命題，它通過(guò)觀察歸納、猜想、證明這一完整的思路過(guò)程去探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力，是中檔題．