Question

（1）已知曲線f（x）=ax²在x=1處的切線與x+2y=0垂直，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）與g（x）=

x

圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出f（x）=ax²在x=1處的切線斜率；再利用兩條直線互相垂直，斜率之間的關(guān)系k₁•k₂=-1，求出未知數(shù)a，可得f（x）的解析式；
（2）求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求f（x）與g（x）=

x

圍成的平面圖形的面積．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²，
∴f′（x）=2ax，
由已知得：f′（1）=2，求得a=1---------------（2分）
∴f（x）=x²-----------------------------------------（4分）
（2）解方程組

y=x2 y= x

得 

x=0 y=0

或

x=1 y=1

…（8分）
∴曲線y=x²與y=

x

圍成的平面圖形的面積為
S=

∫

1 0

(

x

-x2)dx=

( 2 3 x 3 2 - 1 3 x3)|

1 0

=

2

3

-

1

3

=

1

3

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：考查定積分的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；兩直線垂直斜率乘積為-1．屬于較基礎(chǔ)題．