Question

10．已知雙曲線x²-y²=2015的左、右頂點分別為A₁，A₂，P是雙曲線右支上一點，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，則tan∠PA₁A₂的值是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可表示A₁，A₂坐標，設出P坐標，則可分別表示出PA₁和PA₂的斜率，根據(jù)雙曲線方程可知$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-2015}$=1，進而可推斷出-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1．從而tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1，最后得出5∠PA₁A₂=$\frac{π}{2}$-∠PA₁A₂即可求得∠PA₁A₂．即可得出結論．

解答 解：由題意A₁（-$\sqrt{2015}$，0），A₂（$\sqrt{2015}$，0），P（x，y），
k_PA1=tan∠PA₁A₂=$\frac{y}{x+\sqrt{2015}}$，①
k_PA2=-tan∠PA₂A₁=$\frac{y}{x-\sqrt{2015}}$，②
由x²-y²=2015得$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-2015}$=1，
①×②，得-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1，
∴tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
即tan（5∠PA₁A₂）=tan（$\frac{π}{2}$-∠PA₁A₂）
∴5∠PA₁A₂=$\frac{π}{2}$-∠PA₁A₂
∴∠PA₁A₂=$\frac{π}{12}$，
∴tan∠PA₁A₂=tan$\frac{π}{12}$=tan（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點評 本題以雙曲線為載體，主要考查了雙曲線的簡單性質，解析幾何的基礎知識．題中靈活的利用了雙曲線的方程．