已知：函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，且f（3）=log23，對(duì)于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（x）滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0恒成立，求k的范圍．

（1）證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即證f （ x ）是奇函數(shù)．
（2）因?yàn)?對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函數(shù)f（k•3x）＜f（-3x+9x+2）恒成立 又R上的單調(diào)函數(shù)f （ x ）滿足f（3）=log23＞0
而f （0 ）=0 從而有：f （ x ）是R上的單調(diào)增函數(shù)
于是：k•3x＜-3x+9x+2
∴恒成立，而
∴
分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即證
（2）由f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函數(shù)，則f（k•3x）＜f（-3x+9x+2）恒成立，f （ x ）是R上的單調(diào)函數(shù)可得是增函數(shù)，于是可得恒成立，利用基本不等式可求的最小值可求k的范圍
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)函數(shù)值，及利用賦值判斷函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的恒成立與求函數(shù)最值的相互轉(zhuǎn)換，要注意基本不等式在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=x3-ax（a為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）是否存在a，使得當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）是定義在（-3，3）上的減函數(shù)，且滿足不等式f（x-3）+f（x2-3）＜0，設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤
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}，求函數(shù)g（x）=-3x2+3x-4（x∈B）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）是定義在（-3，3）上的減函數(shù)，且滿足不等式f（x-3）+f（x2-3）＜0，則不等式解集
（2，
6
）
（2，
6
）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的增函數(shù)，若f（m-1）+f（2m-1）≤0，則m的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，且f（x-1）+f（3x-2）＜0，則x的取值范圍為
1
3
≤x＜
3
4
1
3
≤x＜
3
4
．

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