Question

下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{a_n}的四個命題：
p₁：?a₁∈R，數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；
P₂：?a₁∈R，數(shù)列{na_n}是遞增數(shù)列；
p₃：?a₁∈R，使得數(shù)列{n²+a_n]是遞減數(shù)列；
p₄：?a₁∈R，使得數(shù)列{

an

n

]是遞減數(shù)列；
其中真命題為（　�。�

• A、p₁，p2
• B、p₃，p₄
• C、p₂，p₃
• D、p₁，p₄

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,閱讀型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出數(shù)列{a_n}的通項公式，d＞0，所以數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，可判斷p₁；
求出na_n的關(guān)系式，由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷p₂；
求出n²+a_n=n²+dn+（a₁-d）．根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷p₃；
求出

an

n

=d+

a1-d

n

，討論當(dāng)a₁-d＞0時，數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷p₄．

解答： 解：由于{a_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，
可得a_n=a₁+（n-1）d=dn+（a₁-d）．
對于p₁．因為d＞0，所以數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，p₁為真；
對于p₂．na_n=dn²+n（a₁-d），則為二次函數(shù)形式，不為單調(diào)數(shù)列，p₂為假；
對于p₃．n²+a_n=n²+dn+（a₁-d）．對稱軸為-

d

2

＜0，在定義域上遞增，p₃假；
對于p₄.

an

n

=d+

a1-d

n

，當(dāng)a₁-d＞0時，數(shù)列{

an

n

}是遞減數(shù)列，p₄為真．
故選D．

點評：本題考查數(shù)列的單調(diào)性，考查簡易邏輯的全稱性和存在性命題的真假，考查推理和判斷能力，屬于中檔題和易錯題．