Question

19．已知點F和直線l分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點和右準線，過點F作斜率為$\sqrt{2}$的直線，該直線與l交于點A，與橢圓的一個交點是B，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，則橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設|$\overrightarrow{AF}$|=2m，|$\overrightarrow{FB}$|=m，故|AB|=3m．由橢圓的第二定義可得|AD|=$\frac{2m}{e}$，|BC|=$\frac{m}{e}$，|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=$\frac{m}{e}$．由AB的斜率tan∠BAE=$\sqrt{2}$，可得cos∠BAE 的值，再由cos∠BAE=$\frac{|AE|}{|AB|}$，求出e的值．

解答 解：如圖所示：過點A作AD垂直于右準線，垂足為D；過點B作BC垂直于右準線，垂足為C；
過點B作BE垂直于AD，垂足為E．
因為$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，可設|$\overrightarrow{AF}$|=2m，|$\overrightarrow{FB}$|=m，故|AB|=3m．
由橢圓的第二定義可得|AD|=$\frac{2m}{e}$，|BC|=$\frac{m}{e}$，|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=$\frac{m}{e}$．
由于直線AB的斜率等于$\sqrt{2}$，∴tan∠BAE=$\sqrt{2}$，∴cos∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
直角三角形ABE中，cos∠BAE=$\frac{|AE|}{|AB|}$=$\frac{1}{3e}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解得離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的第二定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，直角三角形中的邊角關系，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．