已知f(x)=xlnx，g(x)=-x2+ax-3，
（1）求函數(shù)f(x)在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞成立。
解：（1）由已知知函數(shù)f(x)的定義域為（0，+∞），f′(x)=lnx+1，
當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，
①，沒有最小值；
②，即時，；
③，即時，f(x)在[t，t+2]上單調(diào)遞增，；
所以；
（2），則，
設，則，
①單調(diào)遞減，
②單調(diào)遞增，
所以，對一切恒成立，
所以；
（3）問題等價于證明，
由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到，
設，則，
易知，當且僅當x=1時取到，
從而對一切x∈（0，+∞），都有成立。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•綿陽二模）已知函數(shù)f（x）=xln x（x＞0）．
（1）若b≥
1
e
，求證bbe≥
1
e
（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
（2）設F（x）=f（x）+（a-1）x（x≥1，a∈R），試問函數(shù)F（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）已知函數(shù)f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數(shù)，且圖象在點（e，f（g））處的切線斜率為3（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜
f(x)x-1
對任意x＞l恒成立，求k的最大值；
（3）當m＞n＞l（m，n∈Z）時，證明：（nmm）n＞（mnn）m．
（注：本題第（2）（3）兩問只需要解答一問，兩問都答只計第（2）問得分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

(2007成都模擬)已知函數(shù)f(x)=xln x．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)當b＞0時，求證:(其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))；

(3)若a＞0，b＞0，證明：f(a)＋(a＋b)ln2≥f(a＋b)－f(b).

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科目：高中數(shù)學 來源：0110 月考題 題型：解答題

已知a∈R，函數(shù)f(x)=xln(-x)+(a-1)x，（注：[ln(-x)] ′=）
（Ⅰ）若f(x)在x=-e處取得極值，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-e2，-e-1]上的最大值g(a)。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=xln(1+x)-a(x+1)，其中a為常數(shù).

(Ⅰ)若當x∈[1,+∞)時，f′(x)＞0恒成立，求a的取值范圍；

(Ⅱ)求g(x)=f′(x)的單調(diào)區(qū)間.

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