Question

已知某拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)P（m，-3）到焦點(diǎn)F的距離為5．
（Ⅰ）求該拋物線的方程．
（Ⅱ）設(shè)C是該拋物線上的一點(diǎn)，一以C為圓心的圓與其準(zhǔn)線和y軸都相切，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3，可知拋物線開(kāi)口向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線的定義求得p，進(jìn)而可得到拋物線方程；
（Ⅱ）根據(jù)C為圓心的圓與其準(zhǔn)線和y軸都相切，可得C點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到y(tǒng)軸的距離，從而可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入拋物線方程可解．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)P（m，-3），即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3可知拋物線開(kāi)口向下，設(shè)拋物線方程x²=-2py
根據(jù)拋物線的定義可知3+=5，
∴p=4；
∴拋物線方程為x²=-8y，
（Ⅱ）∵C為圓心的圓與其準(zhǔn)線和y軸都相切
∴C點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到y(tǒng)軸的距離
∴在y軸的切點(diǎn)為焦點(diǎn)F（0，-2）
設(shè)C（x，-2），代入拋物線方程，可得x²=16
∴x=±4
∴C的坐標(biāo)為（4，-2）或（-4，-2）
點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線的性質(zhì)為載體，考查拋物線的定義，考查拋物線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．