Question

7．過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l，依次分別交拋物線的準(zhǔn)線、y軸、拋物線于A、B、C三點(diǎn)．若$\overrightarrow{{A}{B}}=2\overrightarrow{{B}C}$，則直線l的斜率是（　　）

• A． $-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
• B． -2或2
• C． $-2\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$
• D． -4或4

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)直線l的方程為：$y=k（x-\frac{p}{2}）$，與拋物線方程聯(lián)立可得${y}^{2}-\frac{2p}{k}y-{p}^{2}$=0，解得y_C，由直線l的方程為：$y=k（x-\frac{p}{2}）$，可得y_A=-pk，y_B=-$\frac{pk}{2}$．由于$\overrightarrow{{A}{B}}=2\overrightarrow{{B}C}$，可得y_B-y_A=2（y_C-y_B），代入解出即可．

解答 解：如圖所示，
設(shè)直線l的方程為：$y=k（x-\frac{p}{2}）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化為${y}^{2}-\frac{2p}{k}y-{p}^{2}$=0，
解得y_C=$\frac{p（1-\sqrt{1+{k}^{2}}）}{k}$，
由直線l的方程為：$y=k（x-\frac{p}{2}）$，
可得y_A=-pk，y_B=-$\frac{pk}{2}$．
∵$\overrightarrow{{A}{B}}=2\overrightarrow{{B}C}$，
∴y_B-y_A=2（y_C-y_B），
即3y_B-y_A=2y_C，
∴$-\frac{3pk}{2}+pk=\frac{2p（1-\sqrt{1+{k}^{2}}）}{k}$，
化為k⁴-8k²=0，k≠0，
化為k²-8=0，
解得k=$±2\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題、向量的線性運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．