已知數(shù)列{an}滿足a1=a,a2=2,Sn是數(shù)列的前n項和,且Sn=
n(an+3a1)
2
(n∈N*).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)對于數(shù)列{bn},若存在常數(shù)M,使bn<M(n∈N*),且
lim
n→∞
bn=M
,則M叫做數(shù)列{bn}的“上漸近值”.設(shè)tn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
-2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{tn}的前n項和,求數(shù)列{Tn}的上漸近值.
分析:(1)由題設(shè)條件可知S1=
a1+3a1
2
,a1=2a1,即a1=0
.由此能夠解得a=0.
(2)由題意可知,Sn=
nan
2
,2Sn=nan(n∈N*)
.所以2Sn-1=(n-1)an-1(n≥2).由此可知數(shù)列{an}的通項公式an=2(n-1)(n∈N*).
(3)由題設(shè)條件知Sn=
nan
2
=n(n-1)(n∈N*)
.由此可知Tn=t1+t2+…+tn=3-
2
n+1
-
2
n+2
<3(n∈N*)
.從而求得數(shù)列{Tn}的上漸近值是3.
解答:解:(1)∵a1=a,a2=2,Sn=
n(an+3a1)
2
(n∈N*)
,∴S1=
a1+3a1
2
a1=2a1,即a1=0
.(2分)∴a=0.(3分)
(2)由(1)可知,Sn=
nan
2
,2Sn=nan(n∈N*)

∴2Sn-1=(n-1)an-1(n≥2).
∴2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1,2an=nan-(n-1)an-1,(n-2)an=(n-1)an-1.(5分)
an
n-1
=
an-1
n-2
(n≥3,n∈N*)
.(6分)
因此,
an
n-1
=
an-1
n-2
a2
1
,an=2(n-1)(n≥2)
.(8分)
又a1=0,∴數(shù)列{an}的通項公式an=2(n-1)(n∈N*).(10分)
(3)由(2)有,Sn=
nan
2
=n(n-1)(n∈N*)
.于是,tn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
-2

=
(n+2)(n+1)
(n+1)n
+
(n+1)n
(n+2)(n+1)
-2

=
2
n
-
2
n+2
(n∈N*)
.(12分)
∴Tn=t1+t2+…+tn
=(
2
1
-
2
3
)+(
2
2
-
2
4
)+(
2
3
-
2
5
)++(
2
n
-
2
n+2
)

=3-
2
n+1
-
2
n+2
<3(n∈N*)
.(14分)
lim
n→∞
Tn=
lim
n→∞
(3-
2
n+1
-
2
n+2
)=3
,
∴數(shù)列{Tn}的上漸近值是3.(16分)
點評:本題考查數(shù)列的綜合運用,解題時要注意計算能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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