Question

（2012•重慶）已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）記{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差等于d，則由題意可得

2a1+2d=8 2a1+4d=12

，解得 a₁=2，d=2，從而得到{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {a_n}的前n項(xiàng)和為S_n =

n(a1+an)

2

=n（n+1），再由ak2=a₁ S_k+2 ，求得正整數(shù)k的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差等于d，則由題意可得

2a1+2d=8 2a1+4d=12

，解得 a₁=2，d=2．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式 a_n =2+（n-1）2=2n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {a_n}的前n項(xiàng)和為S_n =

n(a1+an)

2

=n（n+1）．
∵若a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，∴ak2=a₁ S_k+2 ，
∴4k² =2（k+2）（k+3），k=6 或k=-1（舍去），故 k=6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．